В детстве Бурдонский носил фамилию Сталин, но в подростковом возрасте, по его словам, «я сразу взял мамину фамилию, потому что планировал работать в театре, а какая связь между этой фамилией и искусством?»
Он был женат на театральном режиссёре Далии Тамулевичюте, которая умерла раньше него. Так вышло, что личная жизнь не принесла Бурдонскому потомства, потому после кончины жены он стал одиноким. И, как и ранее, он оставался предельно скромным человеком, не использовавшим своего положения.
